从继电器到CPU ---- 用继电器设计逻辑门

# 说在前面

>本文因为篇幅过长分多部分编写，本篇为 *[用继电器设计逻辑门](https://0x1.ink/p/56 "用继电器设计逻辑门")*
[下篇文章（未完成）](https://0x1.ink/57 "下篇")

很久没更新了，因为快开学了，最近一直在忙着整理东西。抽出零碎时间完成的这篇一直想写却没完成文章，如有疏漏疑问还请指出。

下文会使用 KiCad 以及名叫 Logisim 的简单工具进行演示。

## 引言

很多很多年以前，人们还使用继电器造出过计算器，计算机等计算工具。
现如今这些东西可能只能在博物馆中出现，这里提供一些资料。

[Timeline of Computer History](https://history-computer.com/ "Timeline of Computer History")
[Relay computers of George Stibitz](https://history-computer.com/ModernComputer/Relays/Stibitz.html "Relay computers of George Stibitz")
[Wikipedia_马克一号](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%A6%AC%E5%85%8B%E4%B8%80%E8%99%9F "Wikipedia_马克一号")
[计算机史话](http://www.dwenzhao.cn/hobby/technology/computer1.html "计算机史话")

> M-1 计算器可能实现了世界上最早的 “云计算”

本篇主要对继电器搭建逻辑门进行讲解，内容基础。

## 继电器与真值表

继电器（Relay），一种常见电子控制器件，初中时我们就学习过它的原理，小学时我们知道通电线圈加上铁芯可以变成一个电磁铁，常见的电磁继电器正是依靠电磁铁工作的。

如左下图 D，E 点通电时，衔铁被吸下，B，C 连通；未通电时则 B，A 连通。

![继电器原理](https://img.0x1.ink/2020/10/04/604c337bb1e69.jpg "继电器原理")

继电器工作原理的动画（[Stefan Riepl 作品](https://en.wikipedia.org/wiki/de:User:Quark48 "Stefan Riepl 作品")）

[![继电器工作原理的动画](https://img.0x1.ink/2020/10/04/24da10ca00cef.gif "继电器工作原理的动画")](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%A7%E7%94%B5%E5%99%A8#/media/File:Relais_Animation.gif "继电器工作原理的动画")

根据这一原理，我们可以将继电器简化为如下原理图（使用 KiCad 绘制）

![简化原理图](https://img.0x1.ink/2020/10/04/58191939b1dcb.png "简化原理图")

有了继电器，我们先来点亮一个灯泡。

![继电器的简单应用](https://img.0x1.ink/2020/10/04/c2b8d318c9e26.png "继电器的简单应用")

可见电路中只有 “有” 和 “无” 两种信号。

现在，我们来定义一下，开关 SW1 称为 输入端1（A） ，灯泡称为 输出端（Y） ，电平信号的高低分别定义为 1 和 0 。根据电路的逻辑关系可以得到以下的对应关系，我们将它称为 真值表：

| 输入端1 | 输出端 |
|:-------:|:------:|
|    0    |    0   |
|    1    |    1   |

> 由于逻辑电路与[逻辑代数](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%BB%E8%BE%91%E4%BB%A3%E6%95%B0 "逻辑代数")总是分不开的，下文会以 字母 A，B 代表输入，Y 代表输出，简单列出逻辑运算表达式，运算符等不做赘述，不同浏览器可能会对公式阅读产生影响，看不明白可以先忽略这一部分：$Y = A$

虽然这还称不上是一个逻辑门，但是在了解这些基础知识之后，马上就可以开始搭建逻辑门了。

不过遗憾的是 Logisim 中并没有提供这一组件，所以接下来有关图解主要以上面的电器原理图手绘为主，并由浅至深，循序渐进地进行讲解。

# 基础逻辑门入门

首先来看一下，这个表格所罗列出的是基本逻辑门（摘自 [Wikipedia_逻辑门](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%BB%E8%BE%91%E9%97%A8 "Wikipedia_逻辑门") ）

| 基本 | 逻辑门 |
|:----:|:-----:|
| 缓冲 |   非   |
|  与  |  与非  |
|  或  |  或非  |
| 异或 |  同或  |
| 蕴含 | 蕴含非 |

现在先从最基本的 与门（AND），或门（OR），非门（NOT） 入手，根据它们的英文名很容易理解各自特性。

## 简单逻辑门的制作 ----与或非

### 与门 AND

取来两个继电器，如图**串联**。

![串联继电器](https://img.0x1.ink/2020/10/04/78d07f945f3cc.png "串联继电器")

显然，只有在两个开关全部接通的情况下（即电平信号为 1 ），灯泡才会点亮。

![与门的示例图](https://img.0x1.ink/2020/10/04/1030534e9c483.png "与门的示例图")

现在我们多了一个开关 SW2 ，称它为输入端2
它的真值表如下：

| 输入端1 | 输入端2 | 输出端 |
|:-------:|:-------:|:------:|
|    0    |    0    |    0   |
|    0    |    1    |    0   |
|    1    |    0    |    0   |
|    1    |    1    |    1   |

现在我们把这一整部分称之为 *与门* ，它有两个输入一个输出。只有在两个输入均为 1 时输出才为 1 。

逻辑表达式：$Y = A \times B$

这是它的符号
（ [ANSI](https://en.wikipedia.org/wiki/American_National_Standards_Institute "ANSI") 及 [IEEE](https://zh.wikipedia.org/wiki/Institute_of_Electrical_and_Electronics_Engineers "IEEE") 标准，下文符号均按照此标准，公有领域图片）
![与门符号](https://img.0x1.ink/2020/10/04/1834ccb043548.svg "与门符号")

### 或门 OR

取来两个继电器，如图**并联**。

![并联继电器](https://img.0x1.ink/2020/10/04/7ff405061f7de.png "并联继电器")

现在，不论是只闭合 SW1 还是 SW2 甚至是同时闭合两个开关，灯泡都能被点亮。

![或门的示例图](https://img.0x1.ink/2020/10/04/ecf91e0a27990.png "或门的示例图")

很好，我们得到了一个 *或门* ，这是它的真值表

| 输入端1 | 输入端2 | 输出端 |
|:-------:|:-------:|:------:|
|    0    |    0    |    0   |
|    1    |    0    |    1   |
|    0    |    1    |    1   |
|    1    |    1    |    1   |

和 与门 一样 ，它也有两个输入一个输出，只要满足任意输入为 1 时，输出值就是 1 。

逻辑表达式：$Y = A + B$

这是它的符号

![或门符号](https://img.0x1.ink/2020/10/04/15a61d634e5da.svg "或门符号")

### 非门 NOT

这个逻辑门看上去与点灯示例很像，看仔细了！

![奇怪的接线](https://img.0x1.ink/2020/10/04/6f91cbd06e09a.png "奇怪的接线")

这个接线意味着灯泡一开始就是通电亮的，闭合 SW1 后电路断路，灯就灭了。

这个门电路叫做 *非门* ，这是它的真值表：

| 输入端1 | 输出端 |
|:-------:|:------:|
|    0    |    1   |
|    1    |    0   |

与前两个逻辑门不同的是，他只有一个输入和输出，而且输入与输出总是相反。

逻辑表达式：$Y = \overline{A}$

它的符号长这样

![非门符号](https://img.0x1.ink/2020/10/04/1bb45ab507ae7.svg "非门符号")

## 更进一步 ---- 与非? 或非?
现在，终于可以转战 Logisim 了，使用 KiCad 手绘电路状态并不是一件轻松的事。

在得到 与或非 这三个逻辑门后，我们不妨试试将不同的逻辑门连接在一起，这样可以组成更多新的门电路，我们称他们为 *复合逻辑门* 。

我们已经知道， 非门 的输入与输出总是相反，因此可以利用它的反相功能实现电平翻转。

试着将 非门 与另外连个逻辑门连接，现在制造出了这样两个逻辑门。

> 相互连接两个 非门 似乎毫无意义，但事实上也制造了一个新的逻辑门 *缓冲门* ，这个在后面会讲到。

### 与非门 NAND

左边是一个 与门 连上了一个 非门 ，简化一下就变成了右边的符号。

![与非门示例图](https://img.0x1.ink/2020/10/04/d21f191d4e531.png "与非门示例图")

这个逻辑门叫做 *与非门*，它的逻辑与 与门 相反，对应真值表如下：

| 输入端1 | 输入端2 | 输出端 |
|:-------:|:-------:|:------:|
|    0    |    0    |    1   |
|    0    |    1    |    1   |
|    1    |    0    |    1   |
|    1    |    1    |    0   |

逻辑表达式：$Y = \overline{A \times B}$

![与非门符号](https://img.0x1.ink/2020/10/06/b53bb0c590478.svg "与非门符号")

### 或非门 NOR

同样的，这是 *或非门* 。

![或非门示例图](https://img.0x1.ink/2020/10/04/410d614297165.png "或非门示例图")

这是 或非门 的真值表：

| 输入端1 | 输入端2 | 输出端 |
|:-------:|:-------:|:------:|
|    0    |    0    |    1   |
|    0    |    1    |    0   |
|    1    |    0    |    0   |
|    1    |    1    |    0   |

逻辑表达式：$Y = \overline{A + B}$

![或非门符号](https://img.0x1.ink/2020/10/06/95a5a04bd133e.svg "或非门符号")

## 难度提升 ---- 异或? 同或?

现在已经得到了 与门，或门，非门，与非门，或非门 这五种不同的逻辑门，那其他逻辑门该怎么制造呢?

**与门 + 或门?**

非门 用完了，现在就只有 与门 和 或门 的连接没有尝试了。但是这两个逻辑门都有两个输入一个输出，这怎么连?

这两个逻辑门都是有两个输入端的逻辑门，每个门只使用一次的话，不论怎么连接都会缺少输入端，当然不能直接连接，之后需要至少三个逻辑门才能组成新的逻辑门。

> 顺便提一下，与非门 或非门 可以制造出任意的门电路，因此也被称为 *通用逻辑门*

### 异或门 XOR

先给出 异或门 的真值表：

| 输入端1 | 输入端2 | 输出端 |
|:-------:|:-------:|:------:|
|    0    |    0    |    0   |
|    0    |    1    |    1   |
|    1    |    0    |    1   |
|    1    |    1    |    0   |

试着推导一下，这是讲解到目前为止最复杂的一个逻辑门，如果能推导出来，说明已经掌握了上面的知识。

可以结合异或运算法则：$a⊕b = (¬a ∧ b) ∨ (a ∧¬b)$

当输入端均为 1 时，输出为 0 ，意味着电路中一定包含了反相器，根据 $A \times \overline{B} + \overline{A} \times B$ 推理出原理图。

这里还没有使用到 与非门 和 或非门

![仅使用 与或非 制作 异或门](https://img.0x1.ink/2020/10/06/269f076632f98.png "仅使用 与或非 制作 异或门")

其实有多种方式制作 异或门：

** 仅使用 或非门 制作 异或门： **
![仅使用 或非门 制作 异或门](https://img.0x1.ink/2020/10/06/180b323d4c9ef.png "仅使用 或非门 制作 异或门")

** 仅使用 与非门 制造 异或门： **
![仅使用 与非门 制作 异或门](https://img.0x1.ink/2020/10/06/bcb66a93cadcc.png "仅使用 与非门 制作 异或门")

** 与非门，或门，与门 制作 异或门： **
![与非门，或门，与门 制作 异或门](https://img.0x1.ink/2020/10/06/d3a4792149114.png "与非门，或门，与门 制作 异或门")

逻辑表达式：$Y = A \bigoplus B$

![异或门符号](https://img.0x1.ink/2020/10/06/52cc392ca7008.svg "异或门符号")

### 同或门 XNOR

这是 同或门 的真值表：

| 输入端1 | 输入端2 | 输出端 |
|:-------:|:-------:|:------:|
|    0    |    0    |    1   |
|    0    |    1    |    0   |
|    1    |    0    |    0   |
|    1    |    1    |    1   |

简单！这是反相过的 异或门，你也可以叫它 *异或非门*

![同或门示例图](https://img.0x1.ink/2020/10/06/343a2dc30e757.png "同或门示例图")

逻辑表达式：$Y = \overline{A \bigoplus B}$

![同或门符号](https://img.0x1.ink/2020/10/06/e3885de41e6c9.svg "同或门符号")

## 特别的逻辑门

### 缓冲门 BUF

这是一个比较特别的逻辑门，也叫做 *同相器*

![缓冲门示例图](https://img.0x1.ink/2020/10/06/f36525889f948.png "缓冲门示例图")

缓冲门 真值表：

| 输入端1 | 输出端 |
|:-------:|:------:|
|    0    |    0    |
|    1    |    1    |

连接两个非门似乎毫无意义，事实上，它可以做一个中继器。玩过 Minecraft 的红石电路对于这一点一定不陌生，中继器能将一个微弱的信号增强为较强的信号。实际应用中，也常常将它作为信号延迟元件，所以叫做缓冲门。

逻辑表达式：$Y = A$

![缓冲门符号](https://img.0x1.ink/2020/10/06/b36514b2cc7ec.svg "缓冲门符号")

### 蕴涵门

蕴涵门 和 蕴涵非门 似乎很少在实际应用中出现，具体作用我还不太理解，感兴趣可以参考一下 [这篇文章](https://www.zhihu.com/question/25265675 "这篇文章")

![蕴涵门示例图](https://img.0x1.ink/2020/10/06/d13a8eb5ea020.png "蕴涵门示例图")

蕴涵门 的真值表：

| 输入端1 | 输入端2 | 输出端 |
|:-------:|:-------:|:------:|
|    0    |    0    |    1   |
|    0    |    1    |    1   |
|    1    |    0    |    0   |
|    1    |    1    |    1   |

逻辑表达式：$Y =  \overline{A} + B$

![蕴涵门符号](https://img.0x1.ink/2020/10/06/2eef04f5bd515.svg "蕴涵门符号")

### 蕴涵非门

![蕴涵非门示例图](https://img.0x1.ink/2020/10/06/df2a9881244a1.png "蕴涵非门示例图")

反相后的蕴涵门。

蕴涵非门 的真值表：

| 输入端1 | 输入端2 | 输出端 |
|:-------:|:-------:|:------:|
|    0    |    0    |    0   |
|    0    |    1    |    0   |
|    1    |    0    |    1   |
|    1    |    1    |    0   |

逻辑表达式：$Y = \overline{ \overline{A} + B }$

![蕴涵门符号](https://img.0x1.ink/2020/10/06/6e2396d9f4d91.svg "蕴涵门符号")

# KiCad 组件合照

我还没有开始使用像 Multisim 这样的软件，所以每一步演示图都是手工画的，文字部分使用 PhotoShop 补充。

继电器原理图是用变压器和单刀双掷开关改的。

![电路合照](https://img.0x1.ink/2020/10/06/6946a1365b45a.png "电路合照")

![组件合照](https://img.0x1.ink/2020/10/06/f46fb8f9d7b4b.png "组件合照")

# 关于情怀

话说这个项目从某种程度上讲，其实早在初二的时候就已经完成了。有一段时间因为玩 我的世界（Minecraft）会犯3D眩晕症，按贴吧大佬的指示入坑了名为 生存战争（Survivalcraft）的沙盒游戏。

> 相比较我的世界，生存战争中的世界更加贴近于现实，最重要的是还拥有先进的电路系统，而那时的移动端原版我的世界还未加入红石电路，而生存战争不仅有基础的逻辑门甚至还有更加复杂的 RS锁存器，数模转换模块等等。事实上，因为制作耗时耗力占空间，我不太喜欢红石电路，而 Survivalcraft 对常用器件进行了模块化，所以玩起电路更方便。接触这个游戏后我不禁感叹 "电路原来还能这样玩!"，这也是我的数字电路的启蒙游戏。

恰巧那段时间又热衷于研究操作系统和底层硬件，便萌生了在游戏里制作简单的 CPU 的这样一个想法，甚至还一度希望在现实中实现这样一个设计。经过一段时间，在了解了一些基础知识之后，我意识到要想制作 CPU 有点困难，便决定先从最简单的一部分开始尝试 ———— CPU 主要组件之一 运算单元（ALU）中的 全加器（Full Adder）。

通过搜索引擎渐渐了解并学习了 Logisim 这款简单的电路仿真软件，在知道甚至有同龄人使用它设计出了简易的 CPU 后，发觉自己真的是才疏学浅，不禁对自己狭窄的知识面感到不安惭愧。
待续。

本文由 CloverGit 发表
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最后编辑于: 2020 年 10 月 9 日 17 时 12 分